quadrilateros convexos

angulos

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).


Classificação de ângulos 

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

           agudo                                   reto                               obtuso                                  raso

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.



Retas paralelas cortadas por uma transversal 




Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g               Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g                                Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f                                  Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h                                   Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e                                     Congruentes

produtos notaveis

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final.  Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.

Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.

Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, oquadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. Vamos à explanação de cada um deles.

1.    O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos

2.    O quadrado da diferença de dois termos

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a - b)² = (a - b) . (a - b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

 Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²
• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)² – y² = x²/4 – y²
• (m + n).(m – n) = m² – n²

4. O cubo da soma de dois termos

Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos:

• (2x + 2y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².(2y) + 3.(2x).(2y)² + (2y)³ = 8x³ + 24x²y + 24xy² + 8y³
• (w + 3z)³ = w³ + 3.(w²).(3z) + 3.w.(3z)² + (3z)³ = w³ + 9w²z + 27wz² + 27z³
• (m + n)³ = m³ + 3m²n + 3mn² + n³

5. O cubo da diferença de dois termos

Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a - b).(a – b)² → potência de mesma base.

 (a – b).(a² – 2ab + b²) → (a - b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos

• (2 – y)³ = 2³ – 3.(2²).y + 3.2.y² – y³ = 8 – 12y + 6y² – y³ ou y³– 6y²  +  12y – 8
• (2w – z)³ = (2w)³ – 3.(2w)².z + 3.(2w).z² – z³ = 8w³ – 12w²z + 6wz² – z³
• (c – d)³ = c³ – 3c²d + 3cd² – d³

classificação de triangulos

Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais. 
Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais. 
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes. 



Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos 

Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º. 
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º. 
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º. 


       acutângulo                                               retângulo                                                         obtusângulo

triangulo

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulobasta fazer a soma da medida de todos os lados, asoma dos ângulos internos é sempre 180º.

Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , ,  segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â ,  , ? ou A C, B?A, BÂC.

Tipos de triângulos

♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.


Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 



Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.

♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.


Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.


Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.


Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°. 
 

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:


14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

polinomios

Vejamos alguns exemplos de polinômios:

No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais possuem vários monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio.

O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x³y e 2xy².

Grau de um Polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.

O polinômio -5x⁴ + 14x⁵y² - 7x³y² é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é do grau 7.

O polinômio 4a²b³ + 5a⁵ é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau.

Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa Incógnita

Em relação à variável x o polinômio -5x⁴ + 14x⁵y² - 7x³y² é do grau 5, pois o termo de maior grau nesta variável é do grau 5, que é o segundo termo.

Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y, ele é do grau 2, já que tanto no segundo, quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois.

O polinômio 4a²b³ + 5a⁵ é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b.

Redução de Termos Semelhantes

Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes.

No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois.

Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios.

Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes:

Multiplicação de Polinômios

Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio.

Multiplicação de um Polinômio por um Monômio

No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Vejamos a multiplicação abaixo:

Repare que multiplicamos 7xy² por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios, faça um revisão antes de prosseguir neste tema.

Veja mais alguns exemplos:

Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio

No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante.

Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais facilmente:

Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados.

Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a²b por cada um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a²b³.

Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois termos do segundo.

A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior.

Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação:

Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros, depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos.

Para a multiplicar , por exemplo, primeiro multiplique , que como vimos acima é igual a , então multiplique  por .